CD = AB, BC = ٢DA, BCD = ٣٠ الاضلاع است.

Transcript

1 1.چهار مثلث چوبی مساوي با اضلاع 3 و 4 و 5 داریم. با استفاده از این چهار مثلث چه تعداد چندضلعی محدب می توان ساخت نیازي به اثبات نیست و تنها کافی است چندضلعی هاي موردنظر را رسم کنید. چندضلعی محدب به چندضلعی اي گفته می شود که درون آن هیچ حفره و سوراخی نباشد و هیچ یک از زوایاي آن بیشتر از 180 درجه نباشد. براي مثال : این چندضلعی محدب نیست این چند ضلعی محدب است 2.در مثلث ABC زاویه رأس A برابر با 60 درجه می باشد. نقاط N M و K به ترتیب روي اضلاع CA BC و AB مثلث قرار دارند به طوري که BK = KM = MN = NC شده است. اگر بدانیم = ٢AK AN است مقدار زوایاي رأس هاي B و C را بدست آورید. 3.مطابق شکل زیر زاویه ABC قاي مه است و داریم : ثابت کنید زاویه BAD مساوي 30 درجه خواهد بود. CD = AB, BC = ٢DA, BCD = ٣٠ 4.در مستطیل ABCD نقاط N P Q و M به ترتیب روي اضلاع BC CD DA و AB طوري انتخاب شده اند که مساحت مثلث هاي BN M CP N DQP و AM Q با هم برابر است. ثابت کنید چهارضلعی M N P Q متوازي الاضلاع است. 5.آیا می توان 6 دایره در صفحه رسم کرد به طوري که هر دایره دقیقا از مرکز 3 دایره دیگر بگذرد 1

2 1.نقاط A P و B روي محیط دایره اي قرار دارند. نقطه ي درون دایره به گونه اي انتخاب شده است که این دو شرط را دارا باشد : ٩٠ = AQ P و P. Q = BQ ثابت کنید مقدار تفاضل زوایاي AQB و P QA برابر با مقدار کمان AB است. 2.در مثلث حاده الزاویه ABC ارتفاع BH را رسم می کنیم. نقاط D و E وسط اضلاع AB و AC مثلث می باشند. اگر قرینه نقطه H نسبت به خط DE را F بنامیم ثابت کنید خط BF از مرکز دایره محیطی مثلث ABC می گذرد. 3.در مثلث ABC نقاط N M و K به ترتیب وسط اضلاع CA BC و AB مثلث هستند. دو نیم دایره روي اضلاع AB و AC مثلث و خارج از مثلث رسم کرده ایم. خطوط MK و MN نیم دایره ها را در نقاط X و Y قطع کرده اند. در نقاط X و Y بر نیم دایره ها مماس رسم کرده ایم تا با یکدیگر در نقطه Z برخورد کنند. ثابت کنید خط ZA بر BC عمود می باشد. 4.فرض کنید ω دایره محیطی مثلث متساوي الاضلاع ABC و O مرکز آن باشد. نقطه P روي کمان BC از دایره ω که شامل رأس A نیست قرار دارد. مماس در نقطه P بر دایره ω امتداد اضلاع AB و AC را به ترتیب در نقاط T و L قطع می کند. ثابت کنید ٩٠ > OL. T 5. الف)آیا می توان 5 دایره در صفحه رسم کرد به طوري که هر دایره دقیقا از مرکز 3 دایره دیگر بگذرد ب)آیا می توان 6 دایره در صفحه رسم کرد به طوري که هر دایره دقیقا از مرکز 3 دایره دیگر بگذرد 2

3 1.دو دایره ω ١ و ω ٢ در نقاط A و B متقاطع اند. نقطه X را روي دایره ω ٢ در نظر بگیرید. از B بر BX عمودي رسم می کنیم تا دایره ω ١ را در نقطه Y قطع کند. خطی از مرکز دایره ω ١ به X رسم می کنیم تا دایره ω ٢ را براي بار دوم در نقطه X قطع کند. خط X Y دایره ω ٢ را در نقطه K قطع می کند. ثابت کنید نقطه X وسط کمان AK از دایره ω ٢ است. 2.فرض کنید ω دایره محیطی مثلث متساوي الاضلاع ABC و O مرکز آن باشد. نقطه P روي کمان BC از دایره ω که شامل رأس A نیست قرار دارد. مماس در نقطه P بر دایره ω امتداد اضلاع AB و AC را به ترتیب در نقاط T و L قطع می کند. ثابت کنید ٩٠ > OL. T 3.نقطه H مرکز ارتفاعی مثلث ABC است. خطوط عمود بر هم l ١ و l ٢ از نقطه H می گذرند. خط l ١ ضلع BC و امتداد ضلع AB را در نقاط D و Z قطع کرده و خط l ٢ ضلع BC و امتداد ضلع AC را در نقاط E و X قطع می کند. از نقطه D خطی به موازات AC و از نقطه E خطی به موازات AB رسم می کنیم که با یکدیگر در نقطه Y تلاقی می کنند. ثابت کنید نقاط Y X و Z هم خط می باشند. 4.در مثلث ABC شش دایره بدین صورت رسم می کنیم: دایره اول به مرکز رأس A و شعاع AB تا ضلع AC را در دو نقطه A ١ و A ٢ قطع کند. دایره دوم به مرکز A و شعاع AC تا ضلع AB را در نقاط A ٣ و A ۴ قطع کند. بقیه نقاط B ١ B ٢ ٣ B و B ۴ و C ١ ٢ C ٣ C و C ۴ به همین ترتیب ایجاد می شوند.. ثابت کنید اگر 12 نقطه ایجاد شده توسط این دایره ها روي دو دایره قرار داشته باشند آنگاه مثلث ABC متساوي الساقین است. 5.روي اضلاع مثلث ABC و خارج از آن مستطیل هاي ABA ١ B ٢ ٢ BCB ١ B و ACA ٢ C ١ را رسم کرده ایم. نقطه A را بدین گونه بدست می آوریم که ٩٠ = A. A ١ C ٢ A = A ٢ B ١ نقاط B و C به صورت مشابه تعریف می شوند. ثابت کنید خطوط AA BB و CC همرس هستند. 3

4 1.چهار مثلث چوبی مساوي با اضلاع 3 و 4 و 5 داریم. با استفاده از این چهار مثلث چه تعداد چندضلعی محدب می توان ساخت نیازي به اثبات نیست و تنها کافی است چندضلعی هاي موردنظر را رسم کنید. چندضلعی محدب به چندضلعی اي گفته می شود که درون آن هیچ حفره و سوراخی نباشد و هیچ یک از زوایاي آن بیشتر از 180 درجه نباشد. براي مثال : این چندضلعی محدب نیست این چند ضلعی محدب است 4

5 5

6 2.در مثلث ABC زاویه رأس A برابر با 60 درجه می باشد. نقاط N M و K به ترتیب روي اضلاع CA BC و AB مثلث قرار دارند به طوري که BK = KM = MN = NC شده است. اگر بدانیم = ٢AK AN است مقدار زوایاي رأس هاي B و C را بدست آورید. فرض کنید نقطه P وسط ضلع AN باشد. در این صورت AK = AP = AN و در نتیجه مثلث AP K متساوي الاضلاع است. بنابراین ٣٠ = A. ANK = KP اگر فرض کنیم ACB = NMC = α در این صورت ٢ α ١٢٠ = KMB. ABC = پس ۶٠ =. KMN بنابراین مثلث KMN متساوي الاضلاع است. از طرفی دیگر می دانیم که ٩٠ =. MNA بنابراین ۴۵ = α. پس مقدار زوایاي B و C به ترتیب برابر 75 درجه و 45 درجه بدست می آیند. 6

7 3.مطابق شکل زیر زاویه ABC قاي مه است و داریم : CD = AB, BC = ٢DA, BCD = ٣٠ ثابت کنید زاویه BAD مساوي 30 درجه خواهد بود. فرض کنید دو نقطه E و F را روي BC و AB به نحوي انتخاب کنیم که DF BC و.DE AB حال نتیجه می گیریم.DF = DC = AB (چرا که ٣٠ = BCD و ٩٠ = C ( DF ٢ ٢ علاوه بر این از آنجا که DF = BE پس DE عمودمنصف AB است. در نتیجه.BD = AD.BH = BC پس می ٢ حال فرض کنید H را روي CD طوري انتخاب کنیم که.BH CD بنابراین = BD توان نتیجه گرفت که H بر D منطبق است و ٩٠ =. BDC در نتیجه ٣٠ = BAD. ABD = 7

8 فرض کنید نقطه P را به صورتی انتخاب کنیم که مثلث DCP متساوي الاضلاع باشد. می دانیم که P C BC و P. C = CD = AB بنابراین چهار ضلعی ABCP یک مستطیل است. پس: AP D = AP C DP C = ٩٠ ۶٠ = ٣٠ از طرف دیگر می دانیم DP = DC و.AP = BC بنابراین مثلث هاي ADP و BDC با یکدیگر همنهشت اند. بنابراین.AD = BD.BH = BC پس می ٢ حال فرض کنید H را روي CD طوري انتخاب کنیم که.BH CD بنابراین = BD توان نتیجه گرفت که H بر D منطبق است و ٩٠ =. BDC در نتیجه ٣٠ = BAD. ABD = 8

9 4.در مستطیل ABCD نقاط N P Q و M به ترتیب روي اضلاع BC CD DA و AB طوري انتخاب شده اند که مساحت مثلث هاي BN M CP N DQP و AM Q با هم برابر است. ثابت کنید چهارضلعی M N P Q متوازي الاضلاع است. فرض کنید AB = CD = a, AD = BC = b و.AM = x, AQ = z, P C = y, NC = t اگر x y باشد در این صورت می توان فرض کرد که x. > y حال داریم: y < x a x < a y (١) S AQM = S CNP zx = yt z < t b t < b z (٢) با توجه به نابرابري هاي 1 و : 2 (a x)(b t) < (a y)(b z) S BMN < S DP Q که نادرست است. پس x = y و در نتیجه z. = t پس دو مثلث AM Q و CP N با یکدیگر همنهشت اند. بنابراین.MN = P Q به طریق مشابه نتیجه می گیریم.MQ = NP بنابراین چهارضلعی MNP Q متوازي الاضلاع است. حکم براي حالتی که ABCD متوازي الاضلاع باشد نیز درست است. 9

10 5.آیا می توان 6 دایره در صفحه رسم کرد به طوري که هر دایره دقیقا از مرکز 3 دایره دیگر بگذرد در تصویر زیر مراکز 6 دایره مورد نظر رسم شده است. طول تمامی پاره خط هاي رسم شده برابر 1 واحد است. 10

11 1.نقاط A P و B روي محیط دایره اي قرار دارند. نقطه ي درون دایره به گونه اي انتخاب شده است که این دو شرط را دارا باشد : ٩٠ = AQ P و P. Q = BQ ثابت کنید مقدار تفاضل زوایاي AQB و P QA برابر با مقدار کمان AB است. اگر نقطه M وسط پاره خط P B باشد در این صورت زاویه P MQ برابر 90 درجه است. همچنین ما می دانیم که ٩٠ = AQ. P بنابراین چهارضلعی P AMQ محاطی است. پس : از طرف دیگر : AP M = AQM AQB AQP = P QM + AQM AQP = ٢ AQM بنابراین تفاضل زوایاي AQB و P QA برابر با مقدار کمان AB است. 11

12 قرینه نقطه P نسبت به AQ را K می نامیم. کافیست نشان دهیم : ٢ AP B = AQB AQP AQ عمود منصف P K است. پس AQP = AQK و.P Q = KQ = BQ بنابراین نقطه Q مرکز دایره محیطی P KB است. می دانیم : ٢ AP B = KQB = AQB AQK = AQB AQP بنابراین تفاضل زوایاي AQB و P QA برابر با مقدار کمان AB است. 12

13 2.در مثلث حاده الزاویه ABC ارتفاع BH را رسم می کنیم. نقاط D و E وسط اضلاع AB و AC مثلث می باشند. اگر قرینه نقطه H نسبت به خط DE را F بنامیم ثابت کنید خط BF از مرکز دایره محیطی مثلث ABC می گذرد. فرض کنید O مرکز دایره محیطی مثلث ABC باشد. می دانیم C ٩٠ =. OBA بنابراین کافی است نشان دهیم C ٩٠ = BA. F می دانیم که AD = BD = DH همچنین.DH = DF بنابراین چهارضلعی AHF B محاطی است و مرکز دایره محیطی آن D است.پس : F BA = F HE = ٩٠ DEH, DE BC DEH = C F BA = ٩٠ C 13

14 فرض کنید O مرکز دایره محیطی مثلث ABC باشد. می دانیم چهارضلعی ADOE محاطی است و از طرفی دیگر.AD = HD = DB بنابراین : A = DHA = ١٨٠ DHE = ١٨٠ DF E پس چهارضلعی ADF E محاطی است. نتیجه می گیریم پنج ضلعی ADF OE محاطی است. بنابراین چهارضلعی DF OE محاطی است. پس داریم : C = DEA = DEF = DOF از طرف دیگر. DOF = DOB C = DOB بنابراین F B و O همخط اند. 14

15 3.در مثلث ABC نقاط N M و K به ترتیب وسط اضلاع CA BC و AB مثلث هستند. دو نیم دایره روي اضلاع AB و AC مثلث و خارج از مثلث رسم کرده ایم. خطوط MK و MN نیم دایره ها را در نقاط X و Y قطع کرده اند. در نقاط X و Y بر نیم دایره ها مماس رسم کرده ایم تا با یکدیگر در نقطه Z برخورد کنند. ثابت کنید خط ZA بر BC عمود می باشد. نقطه H را روي ضلع BC طوري در نظر بگیرید که.AH BC بنابراین چهارضلعی هاي AXBH و AY CH محاطی اند. واضح است که KM و MN به ترتیب موازي با AC و AB هستند. پس نتیجه می گیریم که = AKX. XAB = Y AC = ٩٠ A و همچنین ABX = ACY = A بنابراین ANY = A ٢ ٢ پس A X و Y همخط اند. در نتیجه : AHX = ABX = A ٢, AHY = ACY = A ٢ XHY = XMY = A بنابراین چهارضلعی XHMY محاطی است. همچنین از آنجا که ٩٠ = Z MXZ = MY نتیجه می گیریم که چهارضلعی MXZY محاطی است. در نتیجه پنج ضلعی ZXHMY محاطی است. بنابراین چهارضلعی HXZY محاطی است. از طرف دیگر : ZY X = ACY = A ٢ ZHX = ZY X = A ٢, AHX = A ZHX = AHX ٢ بنابراین نقاط A Z و H همخط اند. در نتیجه.AZ BC 15

16 نقطه H را روي ضلع BC طوري در نظر بگیرید که.AH BC واضح است که KM و MN به ترتیب موازي با ABX = ACY = A بنابراین AKX = ANY = A هستند. پس نتیجه می گیریم که AB و AC ٢ و همچنین A ٩٠ = AC. XAB = Y پس A X و Y همخط اند. ٢ ZXY = ZY X = A ٢ ZX = ZY بنابراین نقطه Z روي محوراصلی این دو نیم دایره قرار دارد. همچنین ما می دانیم که خط AH محور اصلی این دو نیم دایره است. بنابراین نقاط A Z و H همخط اند. در نتیجه.AZ BC 16

17 4.فرض کنید ω دایره محیطی مثلث متساوي الاضلاع ABC و O مرکز آن باشد. نقطه P روي کمان BC از دایره ω که شامل رأس A نیست قرار دارد. مماس در نقطه P بر دایره ω امتداد اضلاع AB و AC را به ترتیب در نقاط K و L قطع می کند. ثابت کنید ٩٠ >. KOL فرض کنید M و N اوساط پاره خط هاي AB و AC باشند. به وضوح چهارضلعی BMNC محاطی است. علاوه بر آن ٩٠ > ١٢٠ = C. BP بنابراین نتیجه می گیریم که نقطه P درون دایره محیطی چهارضلعی قرار دارد. پس : MP N > MBN = ٣٠ از طرفی دیگر چهارضلعی هاي KMOP و NOP C نیز محاطی هستند. پس داریم : MKO = MP O, NLO = NP O AKO + ALO = MP N > ٣٠ KOL = A + AKO + ALO > ٩٠ 17

18 فرض کنید ٩٠ KOL باشد. بنابراین + OL ٢ ٢ OK ٢.KL حال فرض کنید R شعاع دایره محیطی مثلث متساوي الاضلاع باشد. اگر فرض کنیم BK = x و LC = y و AB = AC = BC = a در این صورت طبق قضیه کسینوس ها در مثلث AKL خواهیم داشت : KL ٢ = AK ٢ + AL ٢ AK.AL.cos( A) KL ٢ = (a + x) ٢ + (a + y) ٢ (a + x)(a + y) از طرفی دیگر : KB.KA = OK ٢ R ٢ OK ٢ = R ٢ + x(a + x) LC.LA = OL ٢ R ٢ OL ٢ = R ٢ + y(a + y) با توجه به + OL ٢ ٢ OK ٢ KL و ٣ R a = داریم : (a + x) ٢ + (a + y) ٢ (a + x)(a + y) ٢R ٢ + x(a + x) + y(a + y) R ٢ xy (١) KL بر دایره محیطی مثلث متساوي الاضلاع در نقطه P مماس است. بنابراین داریم : KP ٢ = KB.KA = x(a + x) > x ٢ KP > x (٢) LP ٢ = LC.LA = y(a + y) > y ٢ LP > y (٣) KP.LP xy < با توجه به نابرابري هاي 2 و 3: (۴) R ٢ < KP.LP و بنابر نابرابري هاي 1 و 4: (۵) 18

19 می دانیم ٩٠. KOL بنابراین مثلث KOL حاده الزاویه است. فرض کنید H مرکز ارتفاعی مثلث KOL باشد. در نتیجه نقطه H روي پاره خط OP قرار دارد و می توان گفت : OP.HP از طرف دیگر HKP = P OL و. KHP = OLP بنابراین دو مثلث KHP و OP L متشابه هستند. پس داریم : KP HP = OP LP KP.LP = HP.OP OP ٢ = R ٢ اما با توجه به نابرابري 5 KP.LP < ٢ R. تناقض حاصل حکم را نتیجه می دهد. 19

20 5. الف)آیا می توان 5 دایره در صفحه رسم کرد به طوري که هر دایره دقیقا از مرکز 3 دایره دیگر بگذرد ب)آیا می توان 6 دایره در صفحه رسم کرد به طوري که هر دایره دقیقا از مرکز 3 دایره دیگر بگذرد چنین پنج دایره اي وجود ندارند. فرض کنید پنج نقطه با خواص مسي له موجود باشند. پس مراکز آنها پنج نقطه هستند که هر نقطه از 3 نقطه دیگر فاصله یکسان دارد و از تنها یک نقطه دیگر فاصله متفاوت دارد. از هر نقطه به نقطه اي که با آن فاصله متفاوتی دارد یک فلش می کشیم. دو نقطه مانند O i و O j وجود ندارند که از هر یک به دیگري فلش رسم شده باشد. اگر چنین چیزي وجود داشته باشد در این صورت فاصله O i از 3 نقطه دیگر برابر است و فاصله O j از سه نقطه دیگر هم برابر است. پس هم O i و هم O j مرکز دایره محیطی 3 نقطه دیگر هستند که تناقض است. چهار نقطه مانند O k O j O i و O l وجود ندارند که O i و O j به O k فلش داشته باشند و O k به O l فلش داشته باشد. اگر چنین چیزي باشد و نقطه دیگر را O m بنامیم آنگاه فاصله O i از O j و O l و O m برابر است و فاصله O j از O i و O l و O m برابر است. در نتیجه O l و O m باید هر دو به یکدیگر فلش داشته باشند که طبق لم 1 ممکن نیست. بنابراین از هر نقطه یک فلش خارج شده و به هر نقطه یک فلش وارد شده است. از لم 1 می توان نتیجه گرفت که دور 3 و 4 رأسی نداریم. پس یک دور جهت دار پنج رأسی داریم.( با ري وس O k O m O j O i و ( O l پس فاصله O i از O k و O l و O m برابر است و فاصله O k از O j O i و O m برابر است. پس طول O i O m با طول O i O l O i O k و O j O k برابر است. به همین ترتیب می توان گفت که طول همه اضلاع و اقطال این پنج ضلعی باید برابر باشد که ممکن نیست. پس چنین پنج دایره اي وجود ندارند. در تصویر زیر مراکز 6 دایره مورد نظر رسم شده است. طول تمامی پاره خط هاي رسم شده برابر 1 واحد است. 20

21 1.دو دایره ω ١ و ω ٢ به مراکز O ١ و O ٢ در نقاط A و B متقاطع اند. نقطه X را روي دایره ω ٢ در نظر بگیرید. از B بر BX عمودي رسم می کنیم تا دایره ω ١ را در نقطه Y قطع کند. خط ω ١ X دایره ω ٢ را براي بار دوم در نقطه X قطع کند. خط X Y دایره ω ٢ را در نقطه K قطع می کند. ثابت کنید نقطه X وسط کمان AK از دایره ω ٢ است. فرض کنید امتداد BX دایره ω ١ را در Z قطع کند. چون ٩٠ = BZ Y پس سه نقطه, Z ١,Y O همخط هستند. O ١ Y A = ABX = AX X پس Y AX O ١ محاطی است. همچنین می دانیم = Y O ١ ١ AO پس XX K = ١. AX X = Y X O درنتیجه نقطه X وسط کمان AK از دایره ω ٢ است. 21

22 2.فرض کنید ω دایره محیطی مثلث متساوي الاضلاع ABC و O مرکز آن باشد. نقطه P روي کمان BC از دایره ω که شامل رأس A نیست قرار دارد. مماس در نقطه P بر دایره ω امتداد اضلاع AB و AC را به ترتیب در نقاط T و L قطع می کند. ثابت کنید ٩٠ > OL. T فرض کنید M و N اوساط پاره خط هاي AB و AC باشند. به وضوح چهارضلعی BMNC محاطی است. علاوه بر آن ٩٠ > ١٢٠ = C. BP بنابراین نتیجه می گیریم که نقطه P درون دایره محیطی چهارضلعی قرار دارد. پس : MP N > MBN = ٣٠ از طرفی دیگر چهارضلعی هاي KMOP و NOP C نیز محاطی هستند. پس داریم : MKO = MP O, NLO = NP O AKO + ALO = MP N > ٣٠ KOL = A + AKO + ALO > ٩٠ 22

23 فرض کنید ٩٠ KOL باشد. بنابراین + OL ٢ ٢ OK ٢.KL حال فرض کنید R شعاع دایره محیطی مثلث متساوي الاضلاع باشد. اگر فرض کنیم BK = x و LC = y و AB = AC = BC = a در این صورت طبق قضیه کسینوس ها در مثلث AKL خواهیم داشت : KL ٢ = AK ٢ + AL ٢ AK.AL.cos( A) KL ٢ = (a + x) ٢ + (a + y) ٢ (a + x)(a + y) از طرفی دیگر : KB.KA = OK ٢ R ٢ OK ٢ = R ٢ + x(a + x) LC.LA = OL ٢ R ٢ OL ٢ = R ٢ + y(a + y) با توجه به + OL ٢ ٢ OK ٢ KL و ٣ R a = داریم : (a + x) ٢ + (a + y) ٢ (a + x)(a + y) ٢R ٢ + x(a + x) + y(a + y) R ٢ xy (١) KL بر دایره محیطی مثلث متساوي الاضلاع در نقطه P مماس است. بنابراین داریم : KP ٢ = KB.KA = x(a + x) > x ٢ KP > x (٢) LP ٢ = LC.LA = y(a + y) > y ٢ LP > y (٣) KP.LP xy < با توجه به نابرابري هاي 2 و 3: (۴) R ٢ < KP.LP و بنابر نابرابري هاي 1 و 4: (۵) 23

24 می دانیم ٩٠. KOL بنابراین مثلث KOL حاده الزاویه است. فرض کنید H مرکز ارتفاعی مثلث KOL باشد. در نتیجه نقطه H روي پاره خط OP قرار دارد و می توان گفت : OP.HP از طرف دیگر HKP = P OL و. KHP = OLP بنابراین دو مثلث KHP و OP L متشابه هستند. پس داریم : KP HP = OP LP KP.LP = HP.OP OP ٢ = R ٢ اما با توجه به نابرابري 5 KP.LP < ٢ R. تناقض حاصل حکم را نتیجه می دهد. 24

25 3.نقطه H مرکز ارتفاعی مثلث ABC است. خطوط عمود بر هم l ١ و l ٢ از نقطه H می گذرند. خط l ١ ضلع BC و امتداد ضلع AB را در نقاط D و Z قطع کرده و خط l ٢ ضلع BC و امتداد ضلع AC را در نقاط E و X قطع می کند. از نقطه D خطی به موازات AC و از نقطه E خطی به موازات AB رسم می کنیم که با یکدیگر در نقطه Y تلاقی می کنند. ثابت کنید نقاط Y X و Z هم خط می باشند. فرض کنید HZ و HX به ترتیب AC و AB را در Pو Q قطع کنند. بر اساس قضیه منلاي وس در دو مثلث AQX و AP Z داریم: CX AC.AB BQ. QE EX = ١ (١) BZ AB.AC P C.P D DZ = ١ (٢) نقطه H مرکز ارتفاعی مثلث ABC است پس BH AC همچنین می دانیم ٩٠ = DHE درنتیجه = HXA. HZA = CHX = θ به طریق مشابه میتوان نشان داد. BHZ = α 25

26 بر اساس قضیه سینوس ها در سه مثلث HP C و HCX و HP X داریم: sin(٩٠ θ) P C = sin( HCP ) HP, sin(θ) CX = sin( HCX) HX, HP HX = sin(α) sin(٩٠ α) P C CX = tan(α) tan(θ) به طریق مشابه بر اساس قضیه سینوس ها در سه مثلث HBQ و HBZ و HQZ داریم: BZ BQ = tan(α) tan(θ) BZ BQ = P C CX P C BZ = CX BQ (٣) از روابط 2 1 و 3 نتیجه می شود: XE EQ = P D ZD (۴) فرض کنید خطی که از E می گذرد و موازي AB است ZX را در Y ١ قطع کند و خطی که از D می گذرد و موازي AC است ZX را در Y ٢ قطع کند. بر اساس قضیه تالس خواهیم داشت: Y ١ X ZY ١ = XE EQ, Y ٢ X = P D ZY ٢ ZD بنابراین Y ١ و Y ٢ بر یکدیگر منطبق می باشند. درنتیجه Y روي ZX قرار دارد. 26

27 4.در مثلث ABC شش دایره بدین صورت رسم می کنیم: دایره اول به مرکز رأس A و شعاع AB تا ضلع AC را در دو نقطه A ١ و A ٢ قطع کند. دایره دوم به مرکز A و شعاع AC تا ضلع AB را در نقاط A ٣ و A ۴ قطع کند. بقیه نقاط B ١ B ٢ ٣ B و B ۴ و C ١ ٢ C ٣ C و C ۴ به همین ترتیب ایجاد می شوند.. ثابت کنید اگر 12 نقطه ایجاد شده توسط این دایره ها روي دو دایره قرار داشته باشند آنگاه مثلث ABC متساوي الساقین است. برهان خلف:فرض کنید مثلث متساوي الساقین نباشد. می توان فرض کرد که a. > b > c در این صورت روي هریک از خطوط اضلاع مثلث ABC چهارتا از این نقاط قرار میگیرد. پس هریک از دو دایره مذکور اضلاع را در دوتا از این نقاط قطع می کند و ري وس مثلث ABC هم بین این نقاط نیست. حال حاصل ضرب قوت هاي A نسبت به این دو دایره را در نظر بگیرید. این حاصل ضرب برابر است با فواصل A تا چهار نقطه روي خط AB و از طرفی برابر است با حاصل ضرب تا چهار نقطه روي خط.AC بنابراین: b.b.(a c).(a + c) = c.c.(a b)(a + b) b ٢ (a ٢ c ٢ ) = c ٢ (a ٢ b ٢ ) a ٢ (b ٢ c ٢ ) = ٠ b = c در حالی که در ابتدا فرض کردیم b > c که این تناقض است. تناقض حاصل نشان می دهد که مثلث ABC متساوي الساقین است. برهان خلف:فرض کنید مثلث متساوي الساقین نباشد. در این صورت روي هریک از خطوط اضلاع مثلث ABC چهارتا از این نقاط قرار میگیرد. پس هریک از دو دایره مذکور اضلاع را در دوتا از این نقاط قطع می کند و ري وس مثلث ABC هم بین این نقاط نیست. در این صورت تعداد تقاطع هاي هر دایره با مثلث ABC عددي زوج است در حالی که تنها سه تا از این 12 نقطه روي محیط مثلث هستند که عددي فرد است که این تناقض است. تناقض حاصل نشان می دهد که مثلث ABC متساوي الساقین است. 27

28 5.روي اضلاع مثلث ABC و خارج از آن مستطیل هاي ABA ١ B ٢ ٢ BCB ١ B و ACA ٢ C ١ را رسم کرده ایم. نقطه A را بدین گونه بدست می آوریم که ٩٠ = A. A ١ C ٢ A = A ٢ B ١ نقاط B و C به صورت مشابه تعریف می شوند. ثابت کنید خطوط AA BB و CC همرس هستند. فرض کنید l A خطی باشد که از A می گذرد و بر B ٢ C ١ عمود است. به طور مشابه خطوط l B و l C را در نظر بگیرید. فرض کنید = x ٢ = BC ١ CB و = y ٢ = AB ١ BA و = z ٢ = CA ١.AC باتوجه به برابري زاویه ها می توان گفت: sin( A ١ ) sin( A ٢ ) = y z, sin( B ١ ) sin( B ٢ ) = x y, sin( C ١ ) sin( C ٢ ) = z x بنابر این بر اساس قضیه سوا سنیوسی در مثلث ABC سه خط l A, l B, l C همرس هستند. نقطه همرسی این سه خط را P BC بنابراین دو مثلث CP A و B ١ BP A C ٢ BC = B ١ C ٢ BC B ١ C ٢ می نامیم. می دانیم: P و A C ٢ B ١ همنهشت هستند. درنتیجه: P A = x, P C = y, P B = z P A BC, P B AC, P C AB 28

29 فرض کنید C P A, P B, P به ترتیب BC, AC, AB را در D, E, F قطع کنند و = E P D = m, P n., P F = t با توجه به شکل قبل داریم: sin( A ١ ) sin( A ٢ ) = n t = y z, sin( B ١ ) sin( B ٢ ) = t m = x y, sin( C ١ ) sin( C ٢ ) = m n = z x.t = kz, m = kyz x فرض کنید n = ky بنابراین: اکنون از نقطه A خطی موازي BC رسم می کنیم تا امتداد اضلاع AB و AC را به ترتیب در B ٣ و C ٣ قطع کند. نقطه A تقاطع دوم AA با BC درنظر بگیرید. بنابر قضیه تالس داریم: BA = B ٣A CA C ٣ A 29

30 فرض کنید B ٣ P A = α و C ٣ P A = θ باشد. می دانیم چهاضلعی هاي P F B ٣ A و A P EC ٣ محاطی هستند. بنابراین: B ٣ F A = α و. C ٣ EA = θ بر اساس قضیه سینوس ها در مثلث هاي A P B ٣ و A P C ٣ و P C ٣ B ٣ داریم: B ٣ A = tan(α) C ٣ A tan(θ) همچنین بر اساس قضیه سینوس ها در مثلث A P F میتوان گفت: t x = sin( B + α ٩٠) cos(α) = cos( B + α) cos(α) = cos( B) tan(α).sin( B) tan(α) = cos( B) t x sin( B) به طریق مشابه می توان نشان داد: tan(θ) = cos( C) n x sin( C) B ٣A C ٣ A = BA CA = x.cos( B) t x.cos( C) n.sin( C) sin( B) 30

31 نسبت هاي دیگر به طریق مشابه محاسبه می شوند.براي اثبات حکم بنابر قضیه سوا در مثلث ABC کافی است نشان دهیم: x.cos( B) t x.cos( C) n.sin( C) sin( B).z.cos( C) m z.cos( A) t.sin( A) sin( C). y.cos( A) n y.cos( B) m.sin( B) sin( A) = ١ x.cos( B) t x.cos( C) n.z.cos( C) m z.cos( A) t. y.cos( A) n y.cos( B) m = ١ از طرفی می دانیم: n = ky, t = kz, m = kyz x با جایگذاري mو n و t در رابطه بدست آمده براي اثبات حکم به رابطه زیر خواهیم رسید: x.cos( B) kz ky kx.x.cos( C).x.cos( A) x.cos( C) ky x.cos( A) kx x.cos( B) kz = ١ که این رابطه بدیهی است. بنابر این حکم اثبات می شود. 31